PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA-KVADRATURA
  
  IZRAČUNAVANJE POVRŠINE RAVNIH FIGURA

POVRŠINA KRIVOLINIJSKOG TRAPEZA

Nalaženje površine mnogih ravnih figura može se svesti na nalaženje površina tzv. krivolinijskih trapeza. 
	Krivolinijskim trapezom  u ravni O x y nazivamo svaku figuru koja je ograničena nekom krivom y=f(x), x∈[a,b], pravim linijama x=a i x=b i x-osom. Pritom se pretpostavlja da je funkcija f neprekidna i da je f(x) ⪰0 za x∈[a,b].

Površinu takve figure približno možemo izračunati na sledeći način. Podelimo odsečak  [a,b] na n delova tačkama (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2,]) ... , (Subscript[x, n-1]) i (Subscript[x, 0])=a, (Subscript[x, n])=b, pri čemu je (Subscript[x, 0])<(Subscript[x, 1])<...<(Subscript[x, n-1])<(Subscript[x, n]) i neka su svi intervali [(Subscript[x, i-1]),(Subscript[x, i])] iste dužine, tj. Δx=(Subscript[x, i])-(Subscript[x, i-1])=((b-a)/n),i=1,2,...,n. Ako kroz deone tačke povučemo prave paralelne sa y-osom, podelićemo polazni krivolinijski trapez na  n manjih krivolinijskih trapeza. Neprekidnost funkcije f na [a,b] povlači da postoje tačke (Subscript[ξ, i]^m)i (Subscript[ξ, i]^M) iz odgovarajućeg podintervala [(Subscript[x, i-1]),(Subscript[x, i])], u kojima funkcija f dostiže najmanju, odnosno, najveću vrednost. Za svaki krivolinijski trapez (Subscript[T, i]) nad podintervalom [(Subscript[x, i-1]),(Subscript[x, i])], posmatraćemo upisani pravougaonik (Subscript[A, i]^u) (odnosno opisani pravougaonik (Subscript[A, i]^o)), čija je jedna stranica podinterval [(Subscript[x, i-1]),(Subscript[x, i])], a druga jednaka minimumu f((Subscript[ξ, i]^m))(odnosno maksimumu f((Subscript[ξ, i]^M))) funkcije fna datom podintervalu. Jasno je da možemo pisati:

(Subscript[A, i]^u)⊆(Subscript[T, i])⊆(Subscript[A, i]^o)

Površinu ravnog lika možemo posmatrati kao funkciju koja skupovima tačaka datog lika dodeljuje nenegativan broj, tako da većem skupu mora pripadati i veća površina. Označimo sa (Subscript[P, i]^u), (Subscript[P, i]^T), (Subscript[P, i]^O) površine upisanog pravougaonika, krivolinijskog trapeza i opisanog pravougaonika, respektivno, za svaki od podintervala [(Subscript[x, i-1]),(Subscript[x, i])]. Dakle, važi:

(Subscript[P, i]^u)≤(Subscript[P, i]^T)≤(Subscript[P, i]^o)

Kako je:

(A^u)=(⋃_(i=1)^n)(Subscript[A, i]^u)              T=(⋃_(i=1)^n)(Subscript[T, i])               (A^o)=(⋃_(i=1)^n)(Subscript[A, i]^o)

sledi da je:

(A^u)⊆T⊆(A^o)

odakle je

P( (A^u))≤P(T)≤P((A^o))

gde je

P( (A^u))=(∑_(i=1)^n)f((Subscript[ξ, i]^m))Δx                               P( (A^o))=(∑_(i=1)^n)f((Subscript[ξ, i]^M))Δx

a  P(T)površina krivolinijskog trapeza T. Povećanjem broja podintervala n,dužina podintervala se smanjuje, tako da kada n⟶∞, tada  Δx⟶0.

Ako sledeće dve granične vrednosti:

(lim_(n⟶∞))(∑_(i=1)^n)f((Subscript[ξ, i]^m))Δx                                (lim_(n⟶∞))(∑_(i=1)^n)f((Subscript[ξ, i]^M))Δx

postoje i međusobno su jednake, tada se površina krivolinijskog trapeza koji određuje funkcija   f  na intervalu [a,b]definiše kao

P=P(T)= (lim_(n⟶∞))(∑_(i=1)^n)f((Subscript[ξ, i]^m))Δx=(lim_(n⟶∞))(∑_(i=1)^n)f((Subscript[ξ, i]^M))Δx

Dovoljan uslov za postojanje ovih graničnih vrednosti i njihove jednakosti jeste da je funkcija f  neprekidna na [a,b].

Opisani pravougaonici

Upisani pravougaonici

DEFINICIJA

Neka je f jedna funkcija definisana i ograničena na [a,b]. Neka je P: a=(Subscript[x, 0])<(Subscript[x, 1])<...<(Subscript[x, n-1])<(Subscript[x, n])=b jedna podela [a,b] i neka je u svakom podeljku ove podele  [(Subscript[x, i]),(Subscript[x, i+1])]  uzeta proizvoljna tačka  (Subscript[ξ, i]),  i=0,1, ... ,n-1.    Zbir

σ=(∑_(i=0)^(n-1))f((Subscript[ξ, i]))(Subscript[Δx, i])

gde je (Subscript[Δx, i])=(Subscript[x, i+1])-(Subscript[x, i]) naziva se integralna suma (Rimanova suma)  funkcije f koja odgovara podeli P i  odredjenom izboru tačaka. (Subscript[ξ, i]). Neka  je

λ=(max_(i=0)^(n-1))(Subscript[Δx, i]),        (lim_(λ->0))σ=I.

Tada broj I nazivamo odredjenim integralom funkcije f na odsečku  [a,b]

I=(∫_a^b)f(x)dx

Za funkciju f kažemo da je integrabilna na odsečku [a,b].

TEOREMA

Neka je funkcija f definisana i neprekidna na intervalu [a,b] i neka je f(x)≥0, x∈[a,b]. Tada je  površina P krivolinijskog trapeza ispod krive y=f(x) nad  [a,b]  jednaka odredjenom integralu funkcije f na [a,b], tj.

P=(∫_a^b)f(x)dx

PRIMER

Izračunaj površinu figure ograničene parabolom y=(x^2),x-osom i pravama x=a,x=b.

KOMENTAR

U ovom zadatku učenici treba da odrede površinu krivolinijskog trapeza po definiciji, odnosno pomoću zbira površina upisanih pravougaonika. Nastavnik daje učenicima program koji oni treba da aktiviraju i da menjanjem broja upisanih pravougaonika primete kako se tako izračunata površina približava tačnoj vrednosti površine krivolinijskog trapeza povećavanjem broja pravougaonika.

P=(∫_a^b)(x^2)dx=((x^3)/3)(Subscript[|, a]^b)=((b^3)/3)-((a^3)/3)

Program  Tablica[(x^2),1,2,k] daje površinu krivolinijskog trapeza odredjenog grafikom funkcije y=(x^2) u intervalu od 1 do 2 pri čemu uzimamo k pravougaonika. Povećavanjem broja pravougaonika vidimo kako se približna vrednost površine krivolinijskog trapeza približava tačnoj vrednosti površine koja je izračunata pomoću integrala:

P=(∫_1^2)(x^2)dx=((x^3)/3)(Subscript[|, 1]^2)=((2^3)/3)-((1^3)/3)=(7/3)≈2,3(OverDot[3])

Tablica[(x^2),1,2,10]

KOMENTAR

Zajedno sa učenicima izračunamo površinu pomoću upisanih pravougaonika za k=2,kako bi oni tu vrednost uporedili sa vrednošću dobijenom u tablici i da bi videli na koji način ona nastaje.

P=(1/2)\[Cross]1+(1/2)\[Cross](9/4)=(1/2)+(9/8)=((4+9)/8)=(13/8)=1.625

ZADACI

1. Izračunaj površinu figure ograničene linijama  y=ln x, y=0, x=e.

KOMENTAR

Ovaj zadatak dajemo kao prvi jer se cela figura nalazi iznad x-ose, pa je prema tome lako postaviti integral za računanje površine. Taj integral nije lako izračunati pa je dobar za vežbu.

Rešenje zadatka

Presečne tačke: y=ln x
                                    y=0       ⟹ ln x=0 ⟹ x=1 ⟹  (Subscript[x, 1])=1,(Subscript[x, 2])=e ⟹
                                            ⟹ (Subscript[y, 1])= 0 , (Subscript[y, 2])=1 ⟹ A(1,0),B(e,1)

P=(∫_1^e)lnxdx , u=lnx,dv=dx ⟹ du=(1/x)dx, v=x  
            ⟹  P= xlnx(Subscript[|, 1]^e)- (∫_1^e)(1/x)xdx =elne -ln1 - x (Subscript[|, 1]^e)= e-e+1 =1 ⟹ P=1

2.Izračunaj površinu figure ograničene parabolom  y=(x^2)+2x-8  i  x-osom.

KOMENTAR

Do sada smo učenicima zadavali interval,a sada oni treba sami da ga odrede uz pomoć nastavnika. Ovaj primer je dobar i zato što je f(x)<0,x ϵ (-4,2), pa je zato površina figure jednaka integralu od apsolutne vrednosti funkcije.

Rešenje zadatka

Presečne tačke: y=0
                                        y=(x^2)+2x-8 ⟹ (x^2)+2x-8=0 ⟹ (Subscript[x, 1])=-4,(Subscript[x, 2])=2 ⟹
                                               ⟹ (Subscript[y, 1])= 0 , (Subscript[y, 2])=0 ⟹ A(-4,0),B(2,0)

P=(∫_(-4)^2)|(x^2)+2x-8|dx=-(∫_(-4)^2)((x^2)+2x-8)dx=-(∫_(-4)^2)(x^2)dx-2(∫_(-4)^2)xdx+8(∫_(-4)^2)dx=(-((x^3)/3)-2((x^2)/2)+8x)(Subscript[|, -4]^2)
                                                       =-(8/3)-4+16-(64/3)+16+32=36  ⟹   P=36

KOMENTAR

S obzirom da je (∫_(-4)^2)((x^2)+2x-8)dx=(∫_(-4)^2)(x^2)dx+2(∫_(-4)^2)xdx-8(∫_(-4)^2)dx=(((x^3)/3)+2((x^2)/2)-8x)(Subscript[|, -4]^2)=(8/3)+4-16+(64/3)-16-32=-36  , možemo primetiti da je P=|(∫_(-4)^2)(x^2)+2x-8dx|. Dakle, ovom slučaju je |(∫_(-4)^2)f(x)dx|=(∫_(-4)^2)|f(x)|dx . Možemo zaključiti  da ako je f(x)<0,x ϵ (a,b), važi |(∫_a^b)f(x)dx|=(∫_a^b)|f(x)|dx.

3.Izračunaj površinu figure ograničene krivom  y=sin x  u intervalu od 0do 2π.

Rešenje zadatka

Presečne tačke: y=0
                                        y=sinx ⟹ sinx=0 ⟹ (Subscript[x, 1])=0,(Subscript[x, 2])=π ,(Subscript[x, 3])=2π⟹
                                                     ⟹ (Subscript[y, 1])= 0 , (Subscript[y, 2])=0,(Subscript[y, 3])=0 ⟹ A(0,0),B(π,0),C(2π,0)

Postoje dva načina za rešavanje ovog zadatka:
 I  P=(∫_0^(2π))|sinx|dx=(∫_0^π)sinxdx+(∫_π^(2π))(-sinx)dx=(∫_0^π)sinxdx-(∫_π^(2π))sinxdx=-cosx(Subscript[|, 0]^π) - (-cosx)(Subscript[|, π]^(2π))=
                                                     =-cosπ+cos0+cos2π-cosπ=1+1+1+1=4  ⟹   P=4
II  P=2(∫_0^π)sinxdx=2(-cosx)(Subscript[|, 0]^π) =cosπ+2cos 0=2+2=4.

KOMENTAR

Primetimo da je (∫_0^π)sinxdx=0, odnosno u ovom slučaju je |(∫_0^(2π))sinxdx|<(∫_0^(2π))|sinx|dx, što pokazuje da se prilikom izračunavanja mora voditi računa o znaku funkcije.

POVRŠINA IZMEĐU KRIVIH

Neka je figura F u ravni xOy ograničena krivama (Subscript[C, 1]): y=(Subscript[f, 1])(x),xϵ[a,b],(Subscript[C, 2]): y =(Subscript[f, 2])(x),xϵ[a,b]  pri čemu su funkcije (Subscript[f, 1 ])i (Subscript[f, 2 ])  neprekidne  na  [a,b]   i(Subscript[f, 1])(x)≥(Subscript[f, 2])(x),xϵ[a,b]   i pravama x=a i x = b.Izračunajmo površinu figure F.

Ako je (Subscript[T, 1]) krivolinijski trapez ispod  (Subscript[C, 1]),a (Subscript[T, 2]) krivolinijski trapez ispod  (Subscript[C, 2]),oba nad [a,b],tada se F može predstaviti kao F=(Subscript[T, 1])\(Subscript[T, 2]). Prema tome:

P(F)=P((Subscript[T, 1]))-P((Subscript[T, 2]))=(∫_a^b)((Subscript[f, 1])(x)-(Subscript[f, 2])(x))\[DifferentialD]x

1.Izračunaj površinu trapeza  i  trougla ograničenih pravama  y=1,y=3,y=x+1  i  y=-x+10.

Presečne tačke:1. y=x+1
                                          y=1         ⟹ x+1=1 ⟹ x=0 ⟹   A(0,1)
                                  2.  y=-x+10
                                          y=1 ⟹1=-x+10 ⟹ x=9 ⟹  B(9,1)
                                  3.  y=x+1
                                         y=3 ⟹x+1=3 ⟹ x=2 ⟹  C(2,3)
                                 4.  y=-x+10
                                         y=3 ⟹3=-x+10 ⟹ x=7 ⟹  D(7,3)
                          5.  y=x+1
                                       y=-x+10 ⟹x+1=-x+10 ⟹ 2x=9 ⟹ x=(9/2) ⟹ y=(11/2) ⟹ E((9/2) ,(11/2))

Površina trapeza ABDC:       (Subscript[P, 1])=(∫_0^2)(x+1-1)dx+(∫_2^7)(3-1)dx+(∫_7^9)(10-x-1)dx=(∫_0^2)xdx+2(∫_2^7)dx+9(∫_7^9)dx-(∫_7^9)xdx=
=((x^2)/2)(Subscript[|, 0]^2)+2x(Subscript[|, 2]^7)+9x(Subscript[|, 7]^9)-((x^2)/2)(Subscript[|, 7]^9)=(4/2)+14-4+81-63-(81/2)+(49/2)=14   ⟹  (Subscript[P, 1])= 14.
Površina trougla CDE:         (Subscript[P, 2])=(∫_2^(9/2))(x+1-3)dx+(∫_(9/2)^7)(10-x-3)dx=(∫_2^(9/2))(x-2)dx+(∫_(9/2)^7)(7-x)dx=
           =(∫_2^(9/2))xdx-2(∫_2^(9/2))dx+7(∫_(9/2)^7)dx-(∫_(9/2)^7)xdx=((x^2)/2)(Subscript[|, 2]^(9/2))-2x(Subscript[|, 2]^(9/2))+7x(Subscript[|, (9/2)]^7)-((x^2)/2)(Subscript[|, (9/2)]^7)=
=(81/8)-(4/2)-9+4+49-(63/2)-(49/2)+(81/8)=(25/4)  ⟹  (Subscript[P, 2])= (25/4).
Ove rezultate možemo proveriti korišćenjem formula za računanje površina trapeza (Subscript[P, 1])=(((a+b)(Subscript[h, 1]))/2) i trougla (Subscript[P, 2])=((Subscript[bh, 2])/2),  gde su osnovice trapeza a=9,b=5, visina trapeza (Subscript[h, 1])=2, visina trougla (Subscript[h, 2])=(5/2), a b je ujedno i osnovica trougla. Dakle, dobijamo: (Subscript[P, 1])=(((9+5)2)/2)=14i (Subscript[P, 2])=((5(5/2))/2)=(25/4).

2.Izračunaj površinu figure ograničene krivama   y=(x^2) i  y=(Sqrt[x]).

Presečne tačke: y=(Sqrt[x])
                                     y=(x^2)         ⟹ (x^2)=(Sqrt[x])(|^2) ⟹ (x^4)=x ⟹ x((x^3)-1)=0 ⟹ 
                                    ⟹  (Subscript[x, 1])=0,  (Subscript[x, 2])=1 ⟹
                                               ⟹(Subscript[y, 1])= 0 , (Subscript[y, 2])=1 ⟹ A(0,0),B(1,1)

P=(∫_0^1)((Sqrt[x])-(x^2))dx = (∫_0^1)(Sqrt[x])dx-(∫_0^1)(x^2)dx  =((2x(Sqrt[x]))/3)(Subscript[|, 0]^1)-((x^3)/3)(Subscript[|, 0]^1)=
         =(2/3)- 0 -(1/3)+ 0 = (1/3) ⟹ P=(1/3)

3.Izračunaj površinu figure  ograničene krivama 
      y=ln xi  y=(ln^2) x.

Presečne tačke:  y = lnx
                             y=(ln^2)x  ⟹  lnx=(ln^2)x  ⟹lnx-(ln^2)x=0  ⟹
                                  ⟹ lnx (1-lnx)=0 ⟹ lnx=0   i 1-lnx=0⟹
                            ⟹ (Subscript[x, 1])=1 i lnx=1  ⟹ (Subscript[x, 1])=1 i  (Subscript[x, 2])=e ⟹
               ⟹(Subscript[y, 1])=0 i (Subscript[y, 2])=1  ⟹ A(1,0),B(e,1)

P=(∫_1^e)(lnx-(ln^2)x)dx=(∫_1^e)lnxdx-(∫_1^e)(ln^2)xdx
 I     u=lnx,dv=dx  ⟹ du=(1/x)dx,v=x  ⟹ (∫_1^e)lnxdx=xlnx(Subscript[|, 1]^e)-(∫_1^e)(x/x)dx ⟹
                                          ⟹ (∫_1^e)lnxdx=elne-ln1-x(Subscript[|, 1]^e)=e-e+1=1 ⟹ (∫_1^e)lnxdx=1
 II     u=(ln^2)x,dv=dx  ⟹ du=((2lnx)/x)dx,v=x   ⟹   (∫_1^e)(ln^2)xdx=x (ln^2)x(Subscript[|, 1]^e)-(∫_1^e)(((2lnx)x)/x)dx ⟹
                                                   ⟹ (∫_1^e)(ln^2)xdx=elne-ln1- 2(∫_1^e)lnxdx=e-2  ⟹(∫_1^e)(ln^2)xdx=e-2

         ⟹  P=1-e+2   ⟹    P=3-e

Ova formula važi i kada F nije cela iznad x-ose,tj. kada funkcije (Subscript[f, 1]) i (Subscript[f, 2]) nisu nenegativne na [a,b]
 jer F možemo translirati za kdo (Subscript[F, 1]).

Važi P(F)=P((Subscript[F, 1])), a funkcije  (Subscript[f, 1]) i (Subscript[f, 2]) se zamenjuju funkcijama (Subscript[g, 1])(x)=(Subscript[f, 1])(x)+k, (Subscript[g, 2])(x)=(Subscript[f, 2])(x)+k

-> P((Subscript[F, 1]))= (∫_a^b)((Subscript[g, 1])(x)-(Subscript[g, 2])(x))\[DifferentialD]x=(∫_a^b)((Subscript[f, 1])(x)+k-(Subscript[f, 2])(x)-k)\[DifferentialD]x=(∫_a^b)((Subscript[f, 1])(x)-(Subscript[f, 2])(x))\[DifferentialD]x

4.Izračunaj površinu figure ograničene parabolom  y=(x^2)-x-6 i pravom  y=2x+4.

Rešenje zadatka

Presečne tačke:y=(x^2)-x-6
                                y=2x+4      ⟹(x^2)-x-6=2x+4⟹(x^2)-3x-10=0
                                                                 ⟹(Subscript[x, 1])=-2, (Subscript[x, 2])=5
                                                                 ⟹(Subscript[y, 1])=0, (Subscript[y, 2])=14    ⟹A(-2,0),B(5,14)

P=(∫_(-2)^5)(2x+4-(x^2)+x+6)dx=(∫_(-2)^5)(10+3x-(x^2))dx=(10 x+3 ((x^2)/2)-((x^3)/3))(Subscript[|, -2]^5)=(343/6)

KOMENTAR

Ovaj zadatak je moguće uraditi i na sledeći način:

 P=(Subscript[P, 1])+(Subscript[P, 2])+(Subscript[P, 3])=(∫_(-2)^3)(2x+4)dx+(∫_(-2)^3)|(x^2)-x-6|dx+(∫_3^5)(2x+4-(x^2)+x+6)dx=
                   =(∫_(-2)^3)(2x+4)dx+(∫_(-2)^3)(-(x^2)+x+6)dx+(∫_3^5)(10+3x-(x^2))dx=
                                         =(2((x^2)/2)+4 x)(Subscript[|, -2]^3) + (-((x^3)/3)+ ((x^2)/2)+6 x)(Subscript[|, -2]^3)+(10 x+3 ((x^2)/2)-((x^3)/3))(Subscript[|, 3]^5)=(343/6)

5.Izračunaj površinu figure ograničene pravom y=x  i parabolom  y=2-(x^2).

Presečne tačke: y=x
                 y=2-(x^2) ⟹ x=2-(x^2) ⟹ (x^2)+x-2=0  ⟹ (Subscript[x, 1])=-2,(Subscript[x, 2])=1 ⟹
                       ⟹(Subscript[y, 1])= -2 , (Subscript[y, 2])=1 ⟹ A(-2,-2),B(1,1)

P=(∫_(-2)^1)(2-(x^2)-x) dx=2(∫_(-2)^1)dx -(∫_(-2)^1)(x^2)dx- (∫_(-2)^1)xdx =( 2x-((x^3)/3) -((x^2)/2))(Subscript[|, -2]^5)=
                                  =2-(-4)-(1/3)+((((-2))^3)/3)-(1/2)+((((-2))^2)/2)=(9/2) ⟹  P=(9/2)

6.Izračunaj površinu kruga poluprečnika r.

KOMENTAR

Površinu kruga su učenici ranije izračunavali. Medjutim, ovaj zadatak je dat već pri kraju jer se integrali teško izračunavaju.

Rešenje zadatka

P=(∫_(-r)^r)((Sqrt[(r^2)-(x^2)])-(-(Sqrt[(r^2)-(x^2)])))dx = 2(∫_(-r)^r)(Sqrt[(r^2)-(x^2)])dx    
              smena:x=r sint ⟹t=arcsin(x/r), dx=r cost dt,                                                     
                             x=-r ⟹ t=arcsin((-r)/r)     ⟹      t=-arcsin1⟹     t=-(π/2)                                                
                             x =r    ⟹ t=(π/2)       
     I= 2(∫_(-(π/2))^(π/2)) (Sqrt[(r^2)-(r^2)(sin^2)t])r costdt=2r(∫_(-(π/2))^(π/2))r(Sqrt[1-(sin^2)t])costdt=2(r^2)(∫_(-(π/2))^(π/2))(Sqrt[1-(sin^2)t])costdt=2 (r^2)(∫_(-(π/2))^(π/2))(cos^2)tdt=
                                                      =2(r^2)(∫_(-(π/2))^(π/2))((1+cos2t)/2)dt=2   (r^2)((1/2) (∫_(-(π/2))^(π/2))dt+(1/2) (∫_(-(π/2))^(π/2))cos2tdt)=                 
                                           =(r^2) (x(Subscript[|, -(π/2)]^(π/2))+(∫_(-(π/2))^(π/2))cos2tdt)=((r^2)/2)((π/2)+(π/2)+(∫_(-(π/2))^(π/2))cos2tdt)
    (Subscript[I, 1])=(∫_(-(π/2))^(π/2))cos2tdt,
                     smena:2t=u ⟹ 2dt=du ⟹ dt=(du/2) ,        
                                    t=-(π/2)⟹u=-π,t=(π/2)⟹u=π    
     (Subscript[I, 1])=(∫_(-(π/2))^(π/2))cos2tdt=(1/2)(∫_(-π)^π)cosudu=(1/2)sinu(Subscript[|, -π]^π)= (1/2)sinπ-(1/2)sin(-π)=sinπ=0    
    I=(r^2)((π/2)+(π/2)+ (Subscript[I, 1]))=(r^2)(π+0)=(r^2)π    ⟹  P=(r^2)π.

Ovaj način možemo primeniti i pri računanju površine figure ograničene krivom  y=sinx u intervalu od 0 do 2π pri čemu uzimamo 
(Subscript[f, 1])(x)=sinx  i  (Subscript[f, 2])(x)=0 u intervalu od 0 do π i (Subscript[f, 1])(x)=0  i  (Subscript[f, 2])(x)=sinx u intervalu od π do 2π .

P=(∫_0^π)(sinx-0)dx+(∫_π^(2π))(0-sinx)dx=(∫_0^π)sinxdx-(∫_π^(2π))sinxdx=-cosx(Subscript[|, 0]^π) - (-cosx)(Subscript[|, π]^(2π))=
     =-cosπ+cos0+cos2π-cosπ=1+1+1+1=4  ⟹   P=4

ZADACI ZA VEŽBU

1.Izračunaj površinu figure ograničene parabolom  y=(x^2)   i pravom   y=3-2x.

Presečne tačke: y=3-2x
                                    y=(x^2)               ⟹ (x^2)=3-2x ⟹ (x^2)+2x-3=0 ⟹   (Subscript[x, 1])=-3,(Subscript[x, 2])=1 ⟹
                                                      ⟹  (Subscript[y, 1])=9 , (Subscript[y, 2])=1 ⟹ A(-3,9),B(1,1)

P=(∫_(-3)^1)(3-2x-(x^2))dx =  
=3(∫_(-3)^1)dx -2(∫_(-3)^1)xdx -(∫_(-3)^1)(x^2)dx=3x(Subscript[|, -3]^1)-2((x^2)/2)(Subscript[|, -3]^1)-((x^3)/3)(Subscript[|, -3]^1)= 3-1-(1/3)+9+9-9=(32/3) ⟹ P=(32/3)

2.Izračunaj površinu figure ograničene linijama  y=(Sqrt[8-(x^2)]) i  y=(1/2)(x^2)   .

Rešenje zadatka

Presečne tačke: y=(Sqrt[8-(x^2)])
                                      y=(1/2)(x^2)                ⟹ (Sqrt[8-(x^2)])=((x^2)/2)|2  ⟹  8-(x^2)=((x^4)/4)|4 ⟹  (x^4)+4(x^2)-32=0⟹
                                                  ⟹  (x^2)=t,(t^2)+4t-32=0⟹ 
                                                             ⟹  (Subscript[t, 1])=-8,(Subscript[t, 2])=4 ⟹ (Subscript[x, 1])=-2,(Subscript[x, 2])=2 ⟹
                                                             ⟹  (Subscript[y, 1])=2 , (Subscript[y, 2])=2 ⟹ A(-2,2),B(2,2)

P=(∫_(-2)^2)((Sqrt[8-(x^2)])-((x^2)/2))dx = (∫_(-2)^2)(Sqrt[8-(x^2)])dx- (1/2)(∫_(-2)^2)(x^2)dx    
     I=(∫_(-2)^2)(Sqrt[8-(x^2)])dx ,
              smena:x=(Sqrt[8])sint ⟹t=arcsin((x(Sqrt[2]))/4), dx=(Sqrt[8])costdt,                                                     
                             x=-2 ⟹ t=arcsin((-2)/4)(Sqrt[2])       ⟹      t=-arcsin((Sqrt[2])/2) ⟹     t=-(π/4)                                                
                                x =2    ⟹ t=(π/4)       
     I= (∫_(-(π/4))^(π/4)) (Sqrt[8-8(sin^2)t])(Sqrt[8])costdt=(Sqrt[8])(∫_(-(π/4))^(π/4))(Sqrt[8])(Sqrt[1-(sin^2)t])costdt=8(∫_(-(π/4))^(π/4))(Sqrt[1-(sin^2)t])costdt= 8(∫_(-(π/4))^(π/4))(cos^2)tdt=
                                                      =8(∫_(-(π/4))^(π/4))((1+cos2t)/2)dt=   8((1/2)(∫_(-(π/4))^(π/4))dt+(1/2)(∫_(-(π/4))^(π/4))(cos2t/2)dt)=                  
                                           =4(x(Subscript[|, -(π/4)]^(π/4))+(∫_(-(π/4))^(π/4))cos2tdt)=4((π/4)+(π/4)+(∫_(-(π/4))^(π/4))cos2tdt)
    (Subscript[I, 1])=(∫_(-(π/4))^(π/4))cos2tdt,
                     smena:2t=u ⟹ 2dt=du ⟹ dt=(du/2) ,        
                                    t=-(π/4)⟹u=-(π/2),t=(π/4)⟹u=(π/2)    
     (Subscript[I, 1])=(∫_(-(π/4))^(π/4))cos2tdt=(1/2)(∫_(-(π/2))^(π/2))cosudu=(1/2)sinu(Subscript[|, -(π/2)]^(π/2))= (1/2)sin(π/2)-(1/2)sin(-(π/2))=sin(π/2)=1     
    I=4((π/4)+(π/4)+ (Subscript[I, 1]))=4((π/2)+1)=2π+4  
    P=I - (1/2)(∫_(-2)^2)(x^2)dx     =2π+4-(1/2)((x^3)/3)(Subscript[|, -2]^2)=2π+4-(1/2)((2^3)/3)+(1/2)((((-2))^3)/3)=  2π+4-(4/3)-(4/3)=2π+(4/3) ⟹ P=2π+(4/3)

KOMENTAR

Ovaj zadatak je izabran jer je integral veoma teško izračunati, pa je potrebno uraditi ga.

PROGRAMI

Program za leve pravougaonike

<<Graphics`Arrow`
Lp[f_,{x_,a_,b_,n_}]:=Module[{i,h=((b-a)/n)},
				h Sum[Abs[f/.x->(a+i h)],{i,0,n-1}]
]

crtLp[f_,{x_,a_,b_,n_}]:=Module[{h=((b-a)/n)//N,i,prav={},xi,xih,fxi,gr,pl,t},
	gr=Graphics[
		Table[
			xi=a+(i-1)h;
			xih=xi+h;
			fxi=f/.x->xi;
			{
			GrayLevel[4/5],
			Rectangle[{xi,0},{xih,fxi}],
			GrayLevel[1/2],
			Line[{{xi,0},{xih,0},{xih,fxi},{xi,fxi},{xi,0}}]
			},
		{i,1,n}]//Flatten
	];
		pl=Plot[f/.x->t,{t,a,b}, DisplayFunction->Identity];
		a1=Graphics[Arrow[{0,0},{b+b/2,0}]];
			a2=Graphics[Arrow[{0,0},{0,f/.x->a}]];
		Show[gr,pl,a1,a2];
			h Sum[Abs[f/.x->(a+i h)],{i,0,n-1}]
]

crtLp

Do[crtLp[1/x,{x,1/2,1.5,n}],{n,2,50,3}]

Lp[f_,{x_,a_,b_,n_}]:=Module[{i,h=((b-a)/n)},
				h Sum[Abs[f/.x->(a+i h)],{i,0,n-1}]
]

Program za tablicu

zaglavlje={{StyleForm["br. pravougaonika",FontFamily->"Times",FontWeight->"Bold"],StyleForm["površina",FontFamily->"Times",FontWeight->"Bold"]}}

rez=Table[{n,N[Lp[(x^2),{x,1,2,n}],4]},{n,2,10,2}]

TableForm[Join[zaglavlje,rez],TableAlignments->Center]

Tablica[f_,a_,b_,n_]:=Module[{},
		zaglavlje={{StyleForm["br. pravougaonika",FontFamily->"Times",FontWeight->"Bold"],StyleForm["površina",FontFamily->"Times",FontWeight->"Bold"]}};
		rez=Table[{i,N[Lp[(x^2),{x,1,2,i}],4]},{i,2,n,2}];
		TableForm[Join[zaglavlje,rez],TableAlignments->Center]
]

Program za desne pravougaonike

Dp[f_,{x_,a_,b_,n_}]:=Module[{i,h=((b-a)/n)},
				h Sum[Abs[f/.x->(a+ i h)],{i,1,n}]
]

<<Graphics`Arrow`
crtDp[f_,{x_,a_,b_,n_}]:=Module[{h=((b-a)/n)//N,i,prav={},xi,xih,fxi,gr,pl,t},
	gr=Graphics[
		Table[
			xi=a+(i-1)h;
			xih=xi+h;
			fxih=f/.x->xih;
			{
			GrayLevel[4/5],
			Rectangle[{xi,0},{xih,fxih}],
			GrayLevel[1/2],
			Line[{{xi,0},{xih,0},{xih,fxih},{xi,fxih},{xi,0}}]
			},
		{i,1,n}]//Flatten
	];
		pl=Plot[f/.x->t,{t,a,b}, DisplayFunction->Identity];
			a1=Graphics[Arrow[{0,0},{b+b/2,0}]];
			a2=Graphics[Arrow[{0,0},{0,f/.x->b}]];
		Show[gr,pl,a1,a2];
			h Sum[Abs[f/.x->(a+i h)],{i,0,n-1}]
]

crtDp[(x^2),{x,1/2,2,8}]

Do[crtDp[(x^2),{x,1/2,2,n}],{n,2,50,3}]

Program za postepeno iscrtavanje pravougaonika

<<Graphics`Animation`

<<Graphics`Arrow`

q=Plot[{y=Log[E,x]},{x,3,15},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],Axes->True,PlotStyle->AbsoluteThickness[3],Ticks->{{0,18},{0,8}},
Epilog->{Text["y=f(x)",{7,2.2},{0,-1}]}]

q1=Plot[{y=Log[E,x]},{x,3,15},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],Axes->True,PlotStyle->AbsoluteThickness[3],Ticks->{{0,18},{0,8}},
Epilog->{Text["y=f(x)",{7,2.2},{0,-1}],Text["a=(Subscript[x, 0])",{2.3,-0.01},{0,-1}],Text["b=(Subscript[x, n])",{15.8,-0.01},{0,-1}]}]

q2=Plot[{y=Log[E,x]},{x,3,15},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],Axes->True,PlotStyle->AbsoluteThickness[3],Ticks->{{0,18},{0,8}},
Epilog->{Text["y=f(x)",{7,2.2},{0,-1}],Text["a=(Subscript[x, 0])",{2.3,-0.01},{0,-1}],Text["(Subscript[x, 1])",{9.5,-0.01},{0,-1}],Text["b=(Subscript[x, n])",{15.8,-0.01},{0,-1}]}]

p=ListPlot[{{3,0},{15,0}},PlotStyle->PointSize[0.02]]

a1=Graphics[Arrow[{0,0},{17.5,0}]]

a2=Graphics[Arrow[{0,0},{0,5}]]

b1=ListPlot[{{3,0},{3,Log[E,3]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}];

b2=ListPlot[{{15,Log[E,9]},{15,Log[E,15]},{15,0}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b3=ListPlot[{{9,Log[E,9]},{9,0}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b4=ListPlot[{{3,Log[E,3]},{9,Log[E,3]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b5=ListPlot[{{9,Log[E,9]},{15,Log[E,9]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b6=ListPlot[{{6,Log[E,6]},{6,0}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b7=ListPlot[{{3,Log[E,3]},{6,Log[E,3]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b8=ListPlot[{{12,0},{12,Log[E,12]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b9=ListPlot[{{9,Log[E,9]},{12,Log[E,9]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b10=ListPlot[{{6,Log[E,6]},{9,Log[E,6]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}];

b11=ListPlot[{{12,Log[E,12]},{15,Log[E,12]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b12=ListPlot[{{5,0},{5,Log[E,5]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b13=ListPlot[{{7,0},{7,Log[E,7]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b14=ListPlot[{{11,0},{11,Log[E,11]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b15=ListPlot[{{13,0},{13,Log[E,13]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b16=ListPlot[{{5,Log[E,5]},{7,Log[E,5]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b17=ListPlot[{{7,Log[E,7]},{9,Log[E,7]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b18=ListPlot[{{11,Log[E,11]},{13,Log[E,11]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b19=ListPlot[{{13,Log[E,13]},{15,Log[E,13]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b20=ListPlot[{{5,Log[E,3]},{3,Log[E,3]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

b21=ListPlot[{{11,Log[E,9]},{9,Log[E,9]}},PlotJoined->True,Ticks->{{0,18},{0,8}}]

c1=Show[{q,a1,a2}]

c2=Show[{q1,p,b1,b2,a1,a2}]

c3=Show[{q2,p,b1,b2,b3,a1,a2}]

c4=Show[{q2,p,b1,b2,b3,b4,a1,a2}]

c5=Show[{q2,p,b1,b2,b3,b4,b5,a1,a2}]

c5'=Show[{q1,p,b1,b2,a1,a2}]

c6=Show[{q1,p,b1,b2,b6,a1,a2}]

c7=Show[{q1,p,b1,b2,b3,b6,a1,a2}]

c8=Show[{q1,p,b1,b2,b3,b6,b8,a1,a2}]

c9=Show[{q1,p,b1,b2,b3,b6,b8,b7,a1,a2}]

c10=Show[{q1,p,b1,b2,b3,b6,b8,b7,b10,a1,a2}]

c11=Show[{q1,p,b1,b2,b3,b6,b8,b7,b10,b9,a1,a2}]

c12=Show[{q1,p,b1,b2,b3,b6,b8,b7,b10,b11,b9,a1,a2}]

c13=Show[{q1,p,b1,b2,a1,a2}]

c14=Show[{q1,p,b1,b2,b12,a1,a2}]

c15=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,a1,a2}]

c16=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,a1,a2}]

c17=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,a1,a2}]

c18=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,a1,a2}]

c19=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,b20,a1,a2}]

c20=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,b16,b20,a1,a2}]

c21=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,b16,b17,b20,a1,a2}]

c22=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,b16,b17,b21,b20,a1,a2}]

c23=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,b16,b17,b18,b21,b20,a1,a2}]

c24=Show[{q1,p,b1,b2,b12,b13,b3,b14,b15,b16,b17,b18,b19,b20,b21,a1,a2}]

ShowAnimation[{c1,c2,c3,c4,c5,c5',c6,c7,c8,c9,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c18,c19,c20,c21,c22,c23,c24}]